一等幾率矢量和對稱破缺


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一 等幾率矢量和對稱破缺
（一）對稱的等幾率矢量。 坐標(biāo)系O為靜止系，坐標(biāo)系O*相對O系靜止。從O*點(diǎn)到以O(shè)*點(diǎn)為中心，以定長r 為半徑的球面A的任意矢量（N=1，2 ，……）假定這無窮多個(gè)矢量的出現(xiàn)，就其方向來說是等是幾率的，矢量的長度是相等的，矢量之和，定義這樣的一組矢量 為對稱的等幾率矢。 如果定義的這組矢量為速度矢，當(dāng)O*系相對O系靜止時(shí)，無論從O系或O*系來考察, 這組矢量都是對稱的等幾率矢量；如果O*系相對O系以的速度運(yùn)動(dòng)，則O*系里的這組等幾率矢量，在O系考察時(shí),而等于一個(gè)方向與 一致或相反的速度矢量。這時(shí)就說O*系里的對稱的等幾率矢量，在O系里發(fā)生了破缺。 在以靜止系O的原點(diǎn)為中心的庫侖埸中，一個(gè)電子繞中心旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)軸和角動(dòng)量的方向是等兒率出現(xiàn)的，，是一組對稱的等幾率矢量。對某些磁性物質(zhì)，如果引入磁場，則, 這時(shí)對稱的等幾率矢量發(fā)生了破缺。 純數(shù)學(xué)的線性空間，它的基是一組對稱的等幾率矢量，或者說它的主軸是對稱的等幾率矢軸。如引入某個(gè)參照物，至少是一條直線，或某些物理?xiàng)l件，這樣的線性空間是一個(gè)物理空間。它的基或者主軸，不再是對稱的等幾率矢量，而賦予確定的方向，物理空間是一個(gè)有確定方向的線性空間，它是對稱的純數(shù)學(xué)空間的一種破缺。 通常定義物理量的對稱性是：如果某一現(xiàn)象或系統(tǒng)在某一變換下不改變，則說該現(xiàn)象或系統(tǒng)具有該變換所對應(yīng)的對稱性。球函數(shù)是SO(3) 群二階卡塞米爾算符的本征函數(shù)，∵SO( 3 ) 群的二階卡塞米爾算符即角動(dòng)量算符，具有旋轉(zhuǎn)不變性，旋轉(zhuǎn)變換即SO (3) 群變換，∴具有SO(3) 群變換的對稱性。在一個(gè)靜止系O里任意確定一個(gè)軸, 建立起一個(gè)球坐標(biāo)系，用它來表示出球函數(shù)，在靜止系O里，是一個(gè)確定的函數(shù)，具有確定的圖形。當(dāng)繞O點(diǎn)在空間中方向等兒率改變時(shí)，隨機(jī)出現(xiàn) ，以這一組等兒率軸為Z軸，建立一組球坐標(biāo)系，用它們來表示出球函數(shù)，得到,……….的各自的圖形。但諸Z軸的出現(xiàn)是一種旋轉(zhuǎn)變換，即SO(3) 群變換，對SO(3) 群變換是對稱的，,……..是SO(3)群變換不變的二階卡塞米爾算符的同一本征函數(shù)，在靜止系O里考察，諸（N=0，1，2，……）是對稱的。把它們表示成n ，則。這樣表示出來的n 是一組對稱的等幾率矢量，具有SO(3) 群變換的不變性。 一個(gè)算符和它的本征函數(shù)，=f。在一個(gè)靜止系O里可以表示為一組對稱的等幾率矢量，. 假設(shè)存在一個(gè)變換G，它把O系里的這組對稱的等幾率矢量映射到O*系，得到一組矢量。如果對G變換不變，則在O*系里，*= ，，仍是一組對稱的等幾率矢量，物理量具有G變換不變性。如果對G變換不是不變的，，，在O*系里，，在O*系里不再是對稱的等幾率矢量。O系里的對稱的等幾率矢量經(jīng)過G變換發(fā)生了破缺。前一種情況，即，但，稱為對稱破缺。如量子力學(xué)中“自發(fā)對稱破缺”；后一種情況，但，稱為非對稱破缺，如相對運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中的速度矢量。 概括地說，一個(gè)物理量，或說本征矢，如果對某個(gè)變換是對稱的，則這個(gè)物理量對應(yīng)的算符對該變換是不變的，本征矢經(jīng)過變換映射后仍是一組對稱的等幾率矢量。如果物理量對某個(gè)變換不是不對稱的，則本征矢對應(yīng)的算符對該變換不是不變的，本征方程添上了一個(gè)與變換有關(guān)的破缺項(xiàng)，或者本征矢經(jīng)過變換后不再是一個(gè)對稱的等幾率矢量。物理量的對稱破缺必須和算符及本征方程聯(lián)系起來，必須考慮到對稱的等幾率矢量的變化, 和空間聯(lián)系起來分析。 這些論